Question

【题目】设是平面上由个点组成的点集.若在中任取四个点，均至少有一个点与其余三个点相连，则下面结论中正确的是______.

①中不存在与其他所有点相连的点；

②中至少有一个点与其余所有的点均相连；

③中至多有两个点与其余的点不相连；

④中至多有两个点与其余所有的点均相连.

Answer 1

【答案】②.

【解析】

点集中所有的点均两两相连,显然满足题意.因此,结论①、④错误.

又设是点集中的三个点,它们之间不相连,但剩下个点均两两相连,这显然也满足题意.故结论③也是错误的.

若点集中所有的点均两两相连,则结论②显然成立；否则,不妨设点不相连,任取点集中另外两个点,不妨设为,则这四点中必有一点与其余三个点均相连,这个点显然不能是,只能是中的某一个(不妨设为).

由点的任意性,知点集至少有一个点与其余所有的点均相连.因此,结论②是正确的.