Question

已知向量

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=(sinα，cosα)且当α∈R时，|2

a

-

b

|的最大、最小值分别为m、n，则m-n=

2

2

．

Answer 1

分析：由两向量的坐标确定出2

a

-

b

，表示出模的平方，利用完全平方公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出模的最大值与最小值，即可求出m-n的值．

解答：解：∵

a

=（

3

2

，-

1

2

），

b

=（sinα，cosα），
∴2

a

-

b

=（

3

-sinα，-1-cosα），
∴|2

a

-

b

|²=（

3

-sinα）²+（-1-cosα）²=3-2

3

sinα+sin²α+1+2cosα+cos²α=4-4（

3

2

sinα-

1

2

cosα）=4-4sin（α-

π

6

），
∵-1≤sin（α-

π

6

）≤1，即-4≤-4sin（α-

π

6

）≤4，
∴0≤4-4sin（α-

π

6

）≤8，
∴|2

a

-

b

|最大值m=2

2

，最小值n=0，
则m-n=2

2

．
故答案为：2

2

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，向量的模，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．