Question

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，AD=a，AB=

2

a，DF=

2 a

2

． 
（I）求证：EF⊥FB；
（II）求直线EB和平面ABFD所成的角．

Answer 1

分析：（I）过点E向AD引垂线交AD于点O，根据△AED为正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD可得EO⊥平面ABFD；先连接OF，求出OF，BF，OB的平方，得到OF⊥FB；再结合EO⊥FB，证得FB⊥平面EOF即可得到EF⊥FB；
（II）根据（I）得EO⊥平面ABFD，可得直线EB和平面ABCD所成的角为∠EBO．再RT△EOB中求出任意两边长即可求直线EB和平面ABFD所成的角．

解答：解：（I）过点E向AD引垂线交AD于点O，根据△AED为正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD
可得EO⊥平面ABFD
连接OF，则OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

9

4

a2，
所以OB²=OF²+FB²，即OF⊥FB．  ①
又因为EO⊥平面ABFD
所以EO⊥FB，②
所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（5分）
（II）由（I）得，EO⊥平面ABFD，
则直线EB和平面ABCD所成的角为∠EBO．
因为EO=

3

2

a，OB2=

1

4

a2+2a2=

9

4

a2，得OB=

3

2

a，
所以tan∠EOB=

EO

OB

=

3

3

，即∠EBO=

π

6

．（10分）

点评：本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．