Question

若A，B，C为△ABC的三个内角，则

1

A+B

+

4

C

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：常规题型,不等式的解法及应用

分析：根据内角和定理A+B+C=π，得

A+B+C

π

=1，求

1

A+B

+

4

C

的最小值，即求（

1

A+B

+

4

C

）×（

A+B+C

π

）最小值，整理后可以化成积为定值，利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵A+B+C=π，∴

A+B+C

π

=1
∴

1

A+B

+

4

C

=（

1

A+B

+

4

C

）×（

A+B+C

π

）
=

1

π

+

C

π(A+B)

+

4(A+B)

πC

+

4

π

≥

5

π

+2

4 π

=

9

π

当且仅当

C

π(A+B)

=

4(A+B)

πC

时取等号．
∴

1

A+B

+

4

C

的最小值为

9

π

．
故答案为：

9

π

．

点评：本题考查了基本不等式求最值，解决本题的关键是利用内角和定理把求

1

A+B

+

4

C

看作（

1

A+B

+

4

C

）×（

A+B+C

π

）的形式，从而可化成积为定值的形式．