Question

【题目】 设函数f(x)＝(x－1)2＋bln x，其中b为常数．

(1)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

(2)若函数f(x)有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点．

Answer 1

【答案】（1）单调递增（2）见解析

【解析】

试题（1）先求函数导数，再对导函数分子配方，根据b范围确定导函数符号，即得函数单调性（2）函数f(x)有极值点，即导函数变化，转化为对应方程有两个不等实根，即得b的取值范围，再列表分析导函数符号变化规律，进而确定f(x)的极值点．

试题解析：解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－2＋＝＝ (x>0)，

∴当b>时，f′(x)>0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增．

(2)①由(1)得，当b≥时，f′(x)≥0，函数f(x)无极值点．

②当b<时，f′(x)＝0有两个不同解，x1＝－，x2＝＋，所以(ⅰ)b≤0时，x1＝－≤0(0，＋∞)，舍去，

而x2＝＋≥1∈(0，＋∞)，

此时f′(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	单调递减	极小值	单调递增

由此表可知：b≤0时，f(x)有惟一极小值点，x＝＋.

(ⅱ)当0<b<时，0<x1<x2<1，此时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由此表可知：0<b<时，f(x)有一个极大值x1＝－和一个极小值点x2＝＋.

综上所述：当b≤0时，f(x)有惟一极小值点x＝＋；

当0<b<时，f(x)有一个极大值点x＝－和一个极小值点x＝＋.