Question

9．已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示向量$\overrightarrow{OC}$；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{OC}$|．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件知A是BC中点，所以根据向量加法的平行四边形法则得到$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积的运算法则即可求出．

解答 解：（1）由2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，A为BC中点，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，
（2）由（1）知$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$
∴|$\overrightarrow{OC}$|²=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|²=4|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{OB}$|²-4|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos$\frac{π}{3}$=4+4-4×1×2×$\frac{1}{2}$=4，
∴|$\overrightarrow{OC}$|=2．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算法则，属于基础题．