Question

13．已知正四棱锥S-ABCD的高为$\sqrt{3}$，侧棱长为$\sqrt{7}$．
（1）求侧面上的斜高；
（2）求一个侧面的面积；
（3）求底面的面积．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，求出斜高与侧面面积和底面面积．

解答 解：（1）连接AC、BD，交于点O，
连接SO，则SO⊥平面ABCD；
过点O做OM⊥BC，垂足为M，连接SM，则SM⊥BC；

∴SM是侧面SBC的斜高，
在Rt△SBO中，OB=$\sqrt{{（\sqrt{7}）}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$=2；
∴AB=2$\sqrt{2}$，斜高SM=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（2）侧面SBC的面积为
$\frac{1}{2}$BC•SM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$；
（3）底面ABCD的面积为
AB²=${（2\sqrt{2}）}^{2}$=8．

点评 本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了空间中的垂直问题，是基础题目．