Question

9．已知集合S={1，2，…，1997}，A={a₁，a₂，…，a_n}是S的子集，且具有下列性质：
“A中任意两个不同元素的和不能被117整除．”试确定A中元素个数的最大值并证明你的结论．

Answer 1

分析 集合{1，2，3，…，1997}中所有的数都除以117取余数，可分为117组，即余数分别为0，1，2，…，116，余数和为117的不能同时出现在A中，进而分析可得答案．

解答 解：集合{1，2，3，…，1997}中所有的数都除以117取余数，可分为117组，即余数分别为0，1，2，…，116；
其中余数为0时，有{117，234，351，…，1989}共17个，
余数为1时，有{1，118，235，…，1990}共18个；
余数为2时，有{2，119，236，…，1991}共18个；
…
余数为8时，有{8，125，242，…，1997}共18个；
余数为9时，有{9，126，243，…，1881}共17个；
余数为10时，有{10，127，244，…，1882}共17个；
…
余数为116时，有{116，233，350，…，1988}共17个；
根据题意知，余数为1和余数为116，余数为2和余数为115，…，余数为58和余数为59不能同时在A中，余数为0时只能有一个元素在A中；
所以，A最大时应是余数为1时+余数为2时+…+余数为8时+余数为9（或余数为108）时+余数为10（或余数为107）时+…+余数为58（或余数为59）时+余数为0时的一个元素，
共995个元素．
即A的元素最多为995个．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，分类讨论思想，难度中档．