Question

【题目】已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①

得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②

联立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）= （﹣1＜x＜1），

g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）= （﹣1＜x＜1）

（2）解：设t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，

所以函数y=log2t的值域是（﹣∞，0]，

故g（x）的值域是（﹣∞，0]

【解析】（1）由题意和函数奇偶性得：f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）化简后，联立原方程求出f（x）和g（x），由对数的运算化简，由对数函数的性质求出函数的定义域；（2）设t=1﹣x2 ， 由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，利用对数函数的性质求出g（x）的值域．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．