Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c(a＞0)，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）确定b，c的值
（2）若过点（0，2）可做曲线f（x）的三条不同切线，求a的取值范围
（3）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），证明：当x₁≠x₂时，f/(x1)≠f/(x2)．

Answer 1

分析：（1）利用曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，可得

f′(0)=b=0 f(0)=c=1

，解出即可；
（2）由于过点（0，2）可作曲线f（x）的三条不同切线，设曲线上的任意一点为P(x0，

1

3

x

3 0

-

a

2

x

2 0

+1)，则在点P处的切线的方程为y-(

1

3

x

2 0

-

a

2

x

2 0

+1)=(

x

2 0

-ax0)(x-x0)，又直线过点（0，2），化为g（x₀）=0，因此函数g（x₀）有三个零点，利用导数研究其单调性极值，要求极大值大于0，极小值小于0即可得出．
（3）利用（2）和反证法即可证明．

解答：（1）解：f′（x）=x²-ax+b，
∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
∴

f′(0)=b=0 f(0)=c=1

，解得b=0，c=1，
∴f(x )=

1

3

x3-

a

2

x2+1．
（2）解：f′（x）=x²-ax，设曲线上的任意一点为P(x0，

1

3

x

3 0

-

a

2

x

2 0

+1)，
则在点P处的切线的方程为y-(

1

3

x

2 0

-

a

2

x

2 0

+1)=(

x

2 0

-ax0)(x-x0)，又直线过点（0，2），
∴2-(

1

3

x

3 0

-

a

2

x

2 0

+1)=(

x

2 0

-ax0)(-x0)，化简得

2

3

x

3 0

-

a

2

x

2 0

+1=0，
设g(x)=

2

3

x3-

a

2

x2+1，
由于过点（0，2）可作曲线f（x）的三条不同切线，
因此函数g（x）有三个零点．
令g′（x）=2x²-ax=2x（x-

a

2

）=0，解得x=0，或x=

a

2

，
当x＜0时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；
当0＜x＜

a

2

时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；
当x＞

a

2

0时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
因此函数g（x）在x=0处取得极大值，在x=

a

2

处取得极小值．
由于函数g（x）有三个零点，必须满足：

g(0)＞0 g( a 2 )＜0

，
极大值g（0）=1＞0，由极小值g(

a

2

)=

2a3

24

-

a3

8

+1＜0，a3＞24，
解得a＞2

3	3

．
故a的取值范围是(2

3	3

，+∞)．
（3）证明：反证法：由（2）可知：

2

3

x

3 1

-

a

2

x

2 1

+1=0，

2

3

x

3 2

-

a

2

x

2 2

+1=0，
两式作差得

2

3

(

x

2 1

+

x

2 2

+x1x2)=

a

2

(x1+x2)，*
若f′(x1)=f′(x2)，∴x₁+x₂=a，将其代入*得

2

3

(

x

2 1

+

x

2 2

+x1x2)=

1

2

(x1+x2)2，
化为

1

3

(x1-x2)2=0．
∴x₁=x₂，与已知x₁≠x₂矛盾．
故原结论成立．

点评：本题中考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点问题、切线方程、反证法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．