Question

11．已知数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，其中a₄=1，且a₂，a₃，a₃-2成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜16（n∈N₊）

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，求出S_n，由此能证明S_n＜16（n∈N₊）

解答 解：（1）∵数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，其中a₄=1，且a₂，a₃，a₃-2成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=1}\\{{a}_{2}+{a}_{3}-2=2{a}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{{q}^{3}}}\\{{a}_{1}q-2={a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
∴2q²+q-1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$或q=-1，（舍），
∴${a}_{1}=\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{3}}$=8，
∴a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-4}$．
证明：（2）∵${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{8[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$16[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＜1．
∴S_n＜16（n∈N₊）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于16的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．