Question

1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=4，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$．
（1）求△ABC的周长；
（2）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和余弦定理求出边c的值，即可求出△ABC的周长；
（2）根据内角的范围和平方关系求出sinC的值，利用正弦定理求出sinB，由边角的关系和平方关系求出cosB，利用两角差的余弦公式求出cos（B-C）的值．

解答 解：（1）由题意知，a=4，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=16+4-2×$4×2×\frac{1}{4}$=16，
则c=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+2+4=10；
（2）∵0＜C＜π，cosC=$\frac{1}{4}$，
∴$sinC=\sqrt{1-{cos}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，则sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{2}{4}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∵b＜c，∴B＜C，由cosC=$\frac{1}{4}$＞0，则B、C都是锐角，
∴$cosB=\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\frac{7}{8}$，
∴cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{7}{8}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$
=$\frac{22}{32}$=$\frac{11}{16}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，边角的关系和平方关系，以及两角差的余弦公式，注意内角的范围和三角函数值的符号，属于中档题．