Question

【题目】已知椭圆C： ，点P（4，0），过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，a=2，b= ，c=1，

则椭圆的离心率公式e= = ，

∴椭圆C的离心率 ；

（Ⅱ）证明：由c=1，则焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程x=1，

A，B两点关于x轴对称，则P（4，0）在x轴上，

∴直线PA与直线PB关于x轴对称，

∴点O到直线PA的距离与到PB的距离相等，

∴以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切，

当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由kPA= = ，kPB= = ，

则kPA+kPB= + = = =0，

∴∠APO=∠BPO，则点O到直线PA和直线PB的距离相等，

∴以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．

【解析】（Ⅰ）由椭圆方程，求得a和c的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知kPA+kPB=0，即可证明以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．