Question

17．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若${a_3}=\frac{3}{2}$，${S_3}=\frac{9}{2}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，
（法一）对q进行分类同理，分别利用等比数列的通项公式、前n项和公式化简，求出q和首项的值，再求出a_n；
（法二）根据数列的前n项的定义和等比数列的通项公式化简，列出关于q的方程求出q的值，再求出a_n．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
法一：当q=1时，∵$\left.\begin{array}{l}{{a}_{1}={a}_{3}=\frac{3}{2}，{S}_{3}=3{a}_{3}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left.\begin{array}{l}{{a}_{n}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
当q≠1时，∵${a}_{3}=\frac{3}{2}$，${S}_{3}=\frac{9}{2}$，
∴$\left.\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}=\frac{3}{2}}\\{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=6}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，
则$\left.\begin{array}{l}{{a}_{n}=6•{（-\frac{1}{2}）}^{n-1}}\end{array}\right.$，
法二：∵${a}_{3}=\frac{3}{2}$，${S}_{3}=\frac{9}{2}$，且$\left.\begin{array}{l}{{S}_{3}={a}_{3}+{a}_{2}+{a}_{1}={a}_{3}+\frac{{a}_{3}}{q}+\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left.\begin{array}{l}{\frac{1}{{q}^{2}}+\frac{1}{q}-2=0}\end{array}\right.$，解得q=1或q=$-\frac{1}{2}$，
∴$当q=1时，{a_n}=\frac{3}{2}$；$当q=-\frac{1}{2}时，{a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$
综上可得，$当q=1时，{a_n}=\frac{3}{2}$；$当q=-\frac{1}{2}时，{a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，注意利用等比数列的前n项和公式时需要对q进行分类讨论，考查化简、计算能力．