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如图所示,已知A(-1,0),B(1,0),直线l垂直AB于A点,P为l上一动点,点N为线段BP上一点,且满足=2,点M满足

=λ (λ>0),·=0.

(1)求动点M的轨迹方程C;

(2)在上述曲线内是否存在一点Q,若过点Q的直线与曲线C交于两点E、F,使得以EF为直径的圆都与l相切?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:由=2知点N为BP中点,

(λ>0),知且点M与B位于l同侧.   

因为·=0,所以.

由此知MN为线段BP的垂直平分线,所以应有|MB|=|MP|.             

由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线,点B为焦点,直线l为准线,

(1)因为A(-1,0),B(1,0),所以l:x=-1.

抛物线方程为y2=4x,即为点M的轨迹方程.                                  

(2)存在点Q,即为焦点B(1,0).                                          

证明如下:设EF为抛物线的焦点弦,设其中点为H,分别由E、H、F向l作垂线,垂足分别为R、S、T.

由梯形的中位线知:

|HS|=(|ER|+|FT|)=(|EB|+|FB|)=|EF|,                  

即以EF为直径的圆的圆心到直线l的距离等于半径.

所以以EF为直径的圆必与直线l相切.

所以存在点Q,其坐标为(1,0).


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x2
a2
+
y2
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=1(a>b>0)
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3
,0),BC
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5
2
5
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PQ
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6
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