Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC。
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，
得AC⊥SD。
（Ⅱ）设正方形边长a，则SD=。
又OD=，所以SOD=60°，
连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为30°。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC
由（Ⅱ）可得PD=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO，又由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。

解法二：
（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，
建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a，则

（2）由题意知面PAC的一个法向量为

（3）在棱SC上存在一点E使BE//面PAC
由（2）知为面PAC的一个法向量，且设E（x,y,z）

略