Question

已知函数f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2的图象与x轴有两个交点
（1）设两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，试判断函数g（m）=x₁²+x₂²有没有最大值或最小值，并说明理由．
（2）若f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2与g（x）=

m

x

在区间[2，3]上都是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）图象与x轴有两个交点可得m的范围，由韦达定理可得x₁+x₂=m，x₁x₂=

m2-2m+2

4

，从而g（m）可表示为m的函数，根据二次函数性质可判断其最值情况；
（2）由题意可得：

m＞0 m＞1 - -4m 2×4 ≥3

，解出即可；

解答：解：由△=16m²-16（m²-2m+2）＞0，得m＞1，
（1）∵x₁+x₂=m，x₁x₂=

m2-2m+2

4

，
∴g（m）=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-

m2-2m+2

2

=

(m+1)2-3

2

，
∵m＞1，∴g（m）没有最大值，也没有最小值；
（2）．依题意得：

m＞0 m＞1 - -4m 2×4 ≥3

，解得m≥6．
所以实数m的取值范围为：m≥6．

点评：本题考查二次函数的单调性、最值问题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的基础．