Question

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1.

(1)求B₁C₁与平面AB₁C所成角的正切值;

(2)求二面角B-B₁D-C₁的平面角的大小.

Answer 1

(1)解:设AB₁∩A₁B=O,

    ∵BC∥B₁C₁,

    ∴BC与面AB₁C所成的角即为所求.

    ∵∠ACB=∠BCB₁,

    ∴BC在面AB₁C上的射影在OC上,∠BCO即BC与面AB₁C所成的角,tan∠BCO=.

(2)解法一:∵BO⊥AB₁,C₁B₁⊥BO,

    ∴BO⊥平面AB₁C₁D.

    作OE⊥DB₁于点E,连结EB,则EB⊥DB₁,∠BEO为所求二面角的平面角的补角,

    ∵OE=B₁Osin∠EB₁O=·=,BO=,

    ∴tan∠BEO=3,∠BEO=60°.

    ∴所求二面角的平面角为120°.

    解法二:取D₁A、D₁C₁、D₁D为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则B(1,1,1)、D(0,0,1)、C₁(0,1,0)、B₁(1,1,0),AB₁、D₁B₁的中点分别为O(1,,)、O₁(,,0),

    ∵·=(-1,,-)·(1,1,-1)=0, ·=(,,1)·(1,1,-1)=0,

    ∴OC₁⊥DB₁,O₁B⊥DB₁.

    ∴cosθ==-.

    ∴所求二面角的平面角为120°.