Question

已知数列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

，且当n≥2，n∈N时，3a_n+1=4a_n-a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，
（1）求极限

lim

n→∞

n

i=1

ai；
（2）求证：2

n

i=1

ai＞1．

Answer 1

分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-a_n}成等比数列．利用等比数列的通项公式求出a_n+1-a_n=

2

9

（

1

3

）^n-1，利用累加可求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用记

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，直接求和，（1）然后利用和值求出数列的极限即可．
（2）利用数学归纳法证明，当n=1时，显然成立；假设n=k时，结论成立，再证明n=k+1 时，结论成立即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意，当n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1⇒3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以 an+1-an=

1

3

(an-an-1)，
所以 {an+1-an}是以a2-a1=

2

9

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
得 an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0
累加得 an-a1=1-(

1

3

)n，得 an=1-(

1

3

)n
（Ⅱ）（1）因为an=1-(

1

3

)n，所以

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n=(1-

1

3

)(1-

1

9

)(1-

1

27

)…  [1-(

1

3

)n  ]=

2

3

•

8

9

•

26

27

…

(3n-1)

3n

当n→+∞时，an=1-(

1

3

)n→1，∴极限

lim

n→∞

n

i=1

ai=1；
 （2）当n=1时，显然成立
假设n=k时，结论成立，即2a₁•a₂•a₃…a_k＞1．
则n=k+1 时，左边＞ak+1=1-(

1

3

)k+1＞1
故结论成立．

点评：本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．