练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•奉贤区一模）等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N*，数列{an}满足cn=2an
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）数列{bn}满足bn=
    1
    an•an+1
    ，Tn为数列{bn}的前n项和．求
    lim
    n→∞
    Tn    ；
    （3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c1，代入等比数列的通项公式可求cn，然后由cn=2an可求an，
    （2）由bn=
    1
    an•an+1
    =
    1
    (2n-1)(2n+1)
    ，考虑利用裂项求和即可求解Tn，进而可求
    lim
    n→∞
    Tn
    （3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，结合（2）代入可得
    3
    n
    =
    -2m2+4m+1
    m2
    ＞0    ，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N*，m＞1可求
    解答：解：（1）解：由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，
    所以公比q=4（2分）
    ∴c1+4c1=10
    ∴c1=2（3分）
    由等比数列的通项公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
    ∵cn=2an=22n-1
    ∴an=2n-1（15分）
    （2）∵bn=
    1
    an•an+1
    =
    1
    (2n-1)(2n+1)

    ∴bn=
    1
    2
    (
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    )    （6分）
    于是Tn=
    1
    2
    [(1-
    1
    3
    )+(
    1
    3
    -
    1
    5
    )+…+(
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    )]=
    n
    2n+1
    （8分）
    ∴
    lim
    n→∞
    Tn    =
    1
    2
    （10分）
    （3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，
    则(
    m
    2m+1
    )2=
    1
    3
    •
    n
    2n+1
    ，（12分）
    可得
    3
    n
    =
    -2m2+4m+1
    m2
    ＞0    ，
    由分子为正，解得1-
    		6
    2
    ＜m＜1+
    		6
    2
    ，
    由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，
    当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．             （16分）
    说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分
    点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区一模）已知x＞0，y＞0，且
    2
    x
    +
    1
    y
    =1    ，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是
    -4＜m＜2
    -4＜m＜2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区一模）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题，假命题的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区一模）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|，若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．已知C是直线y=
    3
    4
    x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），则点C与点D的“非常距离”的最小值是
    8
    7
    8
    7
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案