Question

2．已知函数$f（x）=2{cos^2}x+sin（{\frac{7π}{6}-2x}）-1（{x∈R}）$．
（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点$（{A，\frac{1}{2}}）$，若b+c=2a，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得周期，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（2）由（1）和A∈（0，π）可得A=$\frac{π}{3}$，再由向量式可得bc=12，结合余弦定理可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cos²x-1+sin（$\frac{7π}{6}$-2x）
=cos2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（2）由f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$可得2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z），
由A∈（0，π）可得A=$\frac{π}{3}$，又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$bc=6，∴bc=12，
∴cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1=$\frac{{a}^{2}}{8}$-1，解得a=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和三角形的解法，属中档题．