【题目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且∠BAD= ,AA1⊥平面ABCD,AA1=1,设E为CD中点
(1)求证:D1E⊥平面BEC1
(2)点F在线段A1B1上,且AF∥平面BEC1 , 求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值.
【答案】
(1)证明:由已知该四棱柱为直四棱柱,且△BCD为等边三角,BE⊥CD
所以BE⊥平面CDD1C1,而D1E平面CDD1C1,故BE⊥D1E
因为△C1D1E的三边长分别为 ,故△C1D1E为等腰直角三角形
所以D1E⊥C1E,结合D1E⊥BE知:D1E⊥平面BEC1
(2)解:取AB中点G,则由△ABD为等边三角形
知DG⊥AB,从而DG⊥DC
以DC,DG,DD1为坐标轴,建立如图所示的坐标系
此时 , ,设
由上面的讨论知平面BEC1的法向量为
由于AF平面BEC1,故AF∥平面BEC1
故(λ+1,0,1)(1,0,﹣1)=(λ+1)﹣1=0λ=0,故
设平面ADF的法向量为 ,
由 知 ,取 ,故
设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ,则
即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为 .
【解析】(1)推导出BE⊥D1E,D1E⊥C1E,由此能证明D1E⊥平面BEC1 . (2)取AB中点G,则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB,从而DG⊥DC,以DC,DG,DD1为坐标轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形, 底面, ,过点的平面与棱, , 分别交于点, , (, , 三点均不在棱的端点处).
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直线是否可能与平面平行?证明你的结论.
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【题目】已知椭圆:经过,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,,且与圆心为的定圆相切.直线:()与圆交于两点,.求面积的最大值.
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【题目】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
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【题目】已知 是双曲线 的右焦点,过点 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,线段 与 相交于点 ,记点 到 的两条渐近线的距离之积为 ,若 ,则该双曲线的离心率是( )
A.
B.2
C. 3
D.4
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【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线与椭圆有相同的焦点;
②在平面内,设为两个定点,为动点,且,其中常数为正实数,则动点的轨迹为椭圆;
③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点,若,则这样的直线有且仅有3条.其中真命题的序号为__________.
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