Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为

6

2

．
①求PA的长度；
②当H为PD的中点时，求异面直线PB与EH所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性质、线面垂直的判定定理即可证明；
（2）①利用（1）的结论和线面角的定义即可得出；
②利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、余弦定理、异面直线所成的角即可得出．

解答：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．
而PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）解：①连接EH．由（1）知AE⊥平面PAD，∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，而tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

，
∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，tan∠EHA=

3

AH

=

6

2

，因此AH=

2

．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2．
②取PA中点F，连BF，HF，则HF∥AD，且HF=

1

2

AD，而BC∥AD，BC=AD，∴BE=HF，BE∥HF．
故四边形BEHF是平行四边形，则EH∥BF，所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角．由计算得：PB=2

2

，BF=

5

，PF=1，
故cos∠PBF=

PB2+BF2-PF2

2PB•BF

=

3 10

10

，
故异面直线PB与EH所成角的余弦值是

3 10

10

．

点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、线面角的定义、菱形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、余弦定理是解题的关键．