Question

6．已知a＞0，b＞0，且a+b=ab，则a+$\frac{b}{4}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{7}{4}$
• C． 2
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由a+b=ab得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，则a+$\frac{b}{4}$=（a+$\frac{b}{4}$）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{4a}$≥$\frac{5}{4}$+2•$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{4a}}$=$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$．

解答 解：∵a+b=ab，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，则：
a+$\frac{b}{4}$=（a+$\frac{b}{4}$）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{4a}$
≥$\frac{5}{4}$+2•$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{4a}}$
=$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
即a+$\frac{b}{4}$的最小值为$\frac{9}{4}$，
当且仅当：a=$\frac{3}{2}$，b=3时，取得最小值，
故选：D．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，体现了整体法的解题思想，属于基础题．