Question

【题目】已知函数f（x）= ，x∈[2，4]．
（1）判断f（x）的单调性，并利用单调性的定义证明：
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）在区间[2，4]上单调递增．

任取x1，x2∈[2，4]，且x1＜x2，

则 ，

∵2≤x1＜x2≤4，∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[2，4]上单调递增

（2）解：由（1）知，函数f（x）区间[2，4]上单调递增，

∴[f（x）]min=f（2），[f（x）]max=f（4），

∵ ， ，

∴ ，

【解析】（1）任取x1 ， x2∈[2，4]，且x1＜x2 ， 利用作差可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；（2）由（1）可知函数f（x）区间[2，4]上单调递增，由单调性即可求得函数的最值；
【考点精析】掌握函数的值域和函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．