Question

【题目】已知函数对于任意的实数都有成立，且当时<0恒成立.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若=-2，求函数在上的最大值；

（3）求关于的不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）奇函数.（2）4（3）

【解析】

（1）对函数进行赋值，求出 ，令y=-x即可根据定义判断出奇偶性；

（2）由定义法证明其单调性，再由单调性求出给定区间上的最值；

（3）利用奇函数的性质及已知的函数性质，将不等式化为的形式，再利用单调性列出不等式，求出解集.

解：（1）∵的定义域是R关于原点对称，

令得=0，再令，得

∴是奇函数.

（2）设任意，

由已知得，①

又，②

由①②知，

∴是R上的减函数，

当

∴在上的最大值为4

（3）由已知得：，

由（1）知是奇函数，又恒成立，

上式可化为：

由（2）知是R上的减函数，

∴

∴原不等式的解集为.