Question

已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线方程，由题意可得a=2，即可得到双曲线方程和渐近线方程；
（2）设出椭圆方程，由题意可得a═2

2

，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得b，由椭圆的a，b，c的关系可得c，再由离心率公式即可得到．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1（a＞0），
则2a=4，解得a=2，
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

4

=1，渐近线方程为y=±x．
（2）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由（1）知F（2

2

，0），于是a=2

2

．
设A（x₀，y₀），则x₀=y₀．①
∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，
∴AF的斜率为-1，故

y0

x0-2 2

=-1．②
由①②解得A（

2

，

2

）．
代入椭圆方程有

2

(2 2 )2

+

2

b2

=1，解得b²=

8

3

，
∴c²=a²-b²=8-

8

3

=

16

3

，得c=

4 3

3

，
∴椭圆E的离心率为e=

c

a

=

4 3 3

2 2

=

6

3

．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和椭圆的离心率的求法，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．