Question

已知函数y=f（x）定义域为（-π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，当x∈（0，π）时，f(x)=-f′(

π

2

)sinx-πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f(30.3)，b=f(logπ3)，c=f(log3

1

9

)，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c

B．b＞a＞c

C．c＞b＞a

D．c＞a＞b

Answer 1

分析：由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出f′(

π

2

)的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．

解答：解：由x∈（0，π）时f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

．
所以f′(

π

2

)=-f′(

π

2

)cos

π

2

-

π

π 2

=-2．
则f′(x)=2cosx-

π

x

．
所以当x∈（0，π）时，f′（x）＜0．
则f（x）在x∈（0，π）上为 减函数．
因为函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则函数y=f（x）为偶函数，
因为log3

1

9

=-2，而1＜3^0.3＜2，0＜log_π3＜1．
所以f(logπ3)＞f(30.3)＞f(2)=f(-2)=f(log3

1

9

)．
所以b＞a＞c．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题．