【题目】过 轴上动点 引抛物线 的两条切线 、 , 、 为切点,设切线 、 的斜率分别为 和 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证:直线 恒过定点,并求出此定点坐标;
【答案】解:(Ⅰ)设过 与抛物线 的相切的直线的斜率是 ,
则该切线的方程为: ,由 得
,
则 都是方程 的解,故 。
(Ⅱ)法1:设 ,
故切线 的斜率是 ,方程是 又 ,
所以方程可化为 ,
切线 的斜率是 ,方程是 又 ,
所以方程可化为 ,
又由于 点在AP上,则 ,
又由于 点在AQ上,则 ,
,
则直线PQ的方程是 ,则直线PQ过定点 .
法2:设 , 所以,
直线PQ: ,
即 ,由(1)知 ,
所以,直线PQ的方程是 ,则直线PQ过定点 .
【解析】(1)设出过A点的直线,联立抛物线,已知直线与抛物线相切,故,再利用韦达定理可以得到结果。
(2)先设出P,Q两点的坐标,求出PQ直线方程,即可知定点坐标。
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【题目】某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | 8 | 5 |
未参加书法社团 | 2 | 30 |
(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学,3名女同学.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求被选中且未被选中的概率.
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【题目】(本题满分14分)
已知正项数列满足:对任意正整数,都有成等差数列,成等比数列,且
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ) 设如果对任意正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆 经过点 ,离心率为 ,左、右焦点分别为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 与椭圆交于A,B两点,与以 为直径的圆交于C,D两点,求 的值.
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【题目】某厂生产和两种产品,按计划每天生产各不得少于10吨,已知生产产品吨需要用煤9吨,电4度,劳动力3个(按工作日计算).生产产品1吨需要用煤4吨,电5度,劳动力10个,如果产品每吨价值7万元, 产品每吨价值12万元,而且每天用煤不超过300吨,用电不超过200度,劳动力最多只有300个,每天应安排生产两种产品各多少才是合理的?
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