Question

【题目】已知

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（II）证明见解析

【解析】试题分析：求含参函数的单调区间，一般需要先研究一下函数的定义域，然后对函数求导数，然后对参数分类讨论，在定义域下研究不等式和，求出增区间和减区间；当时，研究函数f(x)的单调性与最值，构造函数g(x)，同样方法研究函数g(x)的单调性与最值，结合f(x)和g(x)推出f(x)g(x)满足的要求，得出证明的不等式.

试题解析：

（Ⅰ），

当 时， ， 的单调递减区间，没有递增区间；

当 时，若，则， 的单调递减区间；

若，则， 的单调递增区间。

（Ⅱ）证明： ， ，设，则由

，得，

当时， 递减，当时， 递增，

，当且仅当时取等号；

又

当时， 递减， 当时， 递增，

，当且仅当时取等号；

又 不能同时取等号， 即不等式成立.