Question

设=（cosα，（λ-1）sinα），=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的两个向量，且与互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若=，tanβ=，求tanα的值．

Answer 1

解：（1）由题设，得
•=-=cos²α+（λ-1）²sin²α-cos²β-sin²β=1-sin²α+（λ-1）²sin²α-1=（λ-1）²sin²α-sin²α；
∵与垂直，∴（λ-1）²sin²α-sin²α=0，即 λ（λ-2）sin²α=0，且0＜α＜π，∴sin²α≠0，
又 λ＞0，故 λ-2=0，∴λ=2；
（2）当与垂直时，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴cos（α-β）= （0＜α＜β＜π），即，∴sin（α-β）=，tan（α-β）=-，
∴tanα=tan[（α-β）+β]===．
分析：（1）由⊥得，（）•（）=0，代入数据计算，可求得λ的值；
（2）由（1）知，λ=2，且=，可得cos（α-β），进而得sin（α-β），tan（α-β）的值，又知tanβ，
则tanα可表示为tan[（α-β）+β]，由此求出结果．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，同角的三角函数关系，两角和与差的正弦，余弦，正切等知识；也考查了计算能力，属于中档题．