Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD．
因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形．
又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．
因为PA=PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．
（Ⅱ）解：当时，PA∥平面MQB．
下面证明：
连接AC交BQ于N，连接MN．
因为AQ∥BC，所以．
因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，
所以MN∥PA．
所以．
所以，即．
因为，所以．
所以，所以MN∥PA．
又MN?平面MQB，PA?平面MQB，
所以PA∥平面MQB．
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥BQ，AD⊥PQ；
（Ⅱ）当时，PA∥平面MQB．连接AC交BQ于N，连接MN，证明MN∥PA，即可得到结论．
点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．