Question

给出下列命题：①sinα+cosα=

1

5

，则α在第一或四象限；②函数y=sinx+cosx，x=

π

4

是它的一条对称轴，(

3π

4

，0)是它的一个对称中心；③函数y=sin(2x-

π

3

)在[0，

π

2

]内是单调增函数；④把y=2tan(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位可得到y=2tan2x的图象；⑤在△ABC中，cos2A＞cos2B是A＜B的充要条件．
其中逆否命题为真命题的有（　　）

• A、①②⑤
• B、②⑤
• C、②③④
• D、①③⑤

Answer 1

分析：将①中sinα+cosα=

1

5

两边平方后，我们易求出sinα•cosα，由其符号可判断α所在的象限；将x=

π

4

，x=

3π

4

分别代入函数y=sinx+cosx，根据其值是否为函数的最值，易判断x=

π

4

是否是它的一条对称轴，根据其值是否为0，可判断(

3π

4

，0)是否是它的一个对称中心；利用三角函数的单调性，可判断③的真假；根据函数平移变换法则，可判断④的对错；由倍角公式及正弦定理，我们也可得到⑤的正误．进行得到结论．

解答：解：对于①，sinα+cosα=

1

5

?sinαcosα=-

24

25

＜0，∴α在第二或四象限，错误．
对于②，y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，x=

π

4

时，sin(x+

π

4

)=1，∴x=

π

4

是它的一条对称轴，
x=

3π

4

时，sin(x+

π

4

)=0，∴(

3π

4

，0)是它的一个对称中心，正确．
对于③，在[0，

5π

12

]内y=sin(2x-

π

3

)单增，在[

5π

12

，

π

2

]单减，∴错误．
对于④，把y=2tan(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位得到y=2tan[2(x-

π

3

)≠2tan2x，∴错误．
对于⑤，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1-2sin²A＞1-2sin²B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴正确
故选：B

点评：本题考查的知识点是三角函数的定义，符号，对称性，单调性，平移变换，倍角公式，正弦定理及命题真假的判断，熟练掌握三角函数的定义和性质，是解答本题的关键．