Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°AC=BC=a，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A₁B⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）证明线面垂直，可用线垂直的判定定理，由题意知，可证A₁D⊥BC与AC⊥BC，再由定理得出结论；
（II）求线面角，要先作出线面角，由线面角的定义，线与线在面内的投影所成的角即为线面角，由此找出线面角，在相应的三角形中求出它的三角函数值，再求角；
（III）先由二面角的平面角的定作出二面角的平面角，再在三角形中求出此角的大小．

解答：解：（I）证明：∵A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A₁D⊥面ABC，
∴A₁D⊥BC，
∠BCA=90°，
∴AC⊥BC
∵A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（II）由（I）知，A₁D⊥面ABC，
AA₁在平面ABC的射影是AC，
∴∠A₁AD是AA₁与平面ABC所成的角，又A₁B⊥AC₁，A₁B在平面ACC₁A₁的投影为A₁C，
∴A₁C⊥AC，又ACC₁A₁是菱形，
∴AA₁=AC=a，AD=DC=

1

2

a，在Rt△A₁DA中，COS∠A₁AD=

AD

A 1A

=

1

2

得∠A₁AD=

π

3

（III）由（I）知BC⊥平面ACC₁A₁作CN⊥AA₁，于点N，连接BN，∠BNC是二面角B-AA₁ -C的平面角，
由图易知CN=

3

2

a，BC=a
∴在Rt△BCN中，tan∠BNC=

BC

CN

=

2 3

3

，
∴二面角B-AA₁ -C的平面角的正切值为

2 3

3

点评：本题考查与二面角有关的立体几何题，考查了二面角的求法，线面角的求法，线面垂直等立体几何问题，解题的关键是熟练掌握线面角的作法，二面角的作法及线面垂直证明的定理，本题考查了数形结合的思想，规律性强，