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对于函数f(x)=
1
ax-1
+
1
2
(a>0,且a≠1)

(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)探究函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)当2<a<4时,求函数f(x)在[-3,-1]上的最大值和最小值.
分析:(1)先求函数f(x)的定义域看是否关于原点对称,若对称,再依据f(-x)与f(x)的关系作出判断.
(2)先设0<x1<x2,再比较f(x1)与f(x2)的大小关系,依据定义作出判断,其间要对a进行讨论.
(3)本题可利用(1),(2)问的结论求出.
解答:解:(1)由ax-1≠0,得x≠0,∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
f(x)=
2+ax-1
2(ax-1)
=
ax+1
2(ax-1)
,f(-x)=
a-x+1
2(a-x-1)
=
1+ax
2(1-ax)
=-
ax+1
2(ax-1)
=-f(x)

∴f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
1
ax1-1
-
1
ax2-1
=
ax2-ax1
(ax1-1)(ax2-1)

①当0<a<1时,ax2ax1a0=1,∴ax2-ax1<0,ax1-1<0ax2-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)单调递增;
②当a>1时,ax2ax1a0=1,∴ax2-ax1>0ax1-1>0ax2-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)单调递减.
综上,当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)为增函数;当a>1时,f(x)在(0,+∞)为减函数.
(3)由(2)知:当2<a<4时,函数f(x)在[1,3]上是减函数,由(1)知:f(x)为奇函数,所以f(x)在[-3,-1]上也为减函数,则
当x=-3时,f(x)max=f(-3)=-f(3)=-
1
a3-1
-
1
2
=-
a3+1
2(a3-1)
当x=-1时,f(x)min=f(-1)=-f(1)=-
1
a-1
-
1
2
=-
a+1
2(a-1)
点评:本题主要考查函数的奇偶性、单调性,利用定义是解决该类问题的常用办法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)
,下列判断中,正确结论的序号是
①②
①②
(请写出所有正确结论的序号).
①f(-x)+f(x)=0;      
②当m∈(0,1)时,方程f(x)=m总有实数解;
③函数f(x)的值域为R;   
④函数f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)=1-2cos2(x+
π
4
)-
3
cos2x
,给出下列四个命题:
(1)函数在区间[
12
11π
12
]
上是减函数;
(2)直线x=
π
6
是函数图象的一条对称轴;
(3)函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移
π
3
而得到;
(4)若 R,则f(x)=f(2-x),且的值域是[-
3
,2]

其中正确命题的个数是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于“函数f(x)=
1
-x2+2x+3
是否存在最值的问题”,你认为以下四种说法中正确的是(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于函数f(x)=1-2cos2(x+
π
4
)-
3
cos2x
,给出下列四个命题:
(1)函数在区间[
12
11π
12
]
上是减函数;
(2)直线x=
π
6
是函数图象的一条对称轴;
(3)函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移
π
3
而得到;
(4)若 R,则f(x)=f(2-x),且的值域是[-
3
,2]

其中正确命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于“函数f(x)=
1
-x2+2x+3
是否存在最值的问题”,你认为以下四种说法中正确的是(  )
A.有最大值也有最小值B.无最大值也无最小值
C.有最大值而无最小值D.无最大值而有最小值

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