Question

若对任意实数x，cos²x+2ksinx-2k-2＜0恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A．1-

  2

  ＜k＜1+

  2

• B．k＞1-

  2

• C．1-

  2

  ＜k≤1
• D．k＞-1

Answer 1

分析：根据同角三角函数的关系，我们可将不等式转化为2k＞

sin2x+1

sinx-1

恒成立，求出

sin2x+1

sinx-1

的最大值，即可得到答案．

解答：解：∵cos²x+2ksinx-2k-2=1-sin²x+2ksinx-2k-2=-sin²x+2ksinx-2k-1=2k（sinx-1）-（sin²x+1）＜0恒成立
即2k（sinx-1）＜（sin²x+1）恒成立
当sinx-1=0时，显然成立
当sinx-1≠0时，则sinx-1＜0
故2k＞

sin2x+1

sinx-1

恒成立
令t=sinx，y=

sin2x+1

sinx-1

=

t2+1

t-1

（-1≤t＜1）
则y′=

t2-2t-1

(t-1)2

令y′=0，则t²-2t-1=0，
解得t=1-

2

，或t=1+

2

（舍去）
由t∈[-1，1-

2

）时，y′＞0，t∈（1-

2

，1）时，y′＜0，
∴y=

t2+1

t-1

（-1≤t＜1）在[-1，1-

2

）上递增；在（1-

2

，1）上递减
即y_max=y|_t=1-

2

=2-2

2

则2k＞2-2

2

则k＞1-

2

故选B

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，将其转化为最值问题是解答的关键．