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    已知M是△ABC内的一点，且
    AB
    •
    AC
    =2
    		3
    ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
    1
    2
    ，x，y，则
    1
    x
    +
    4
    y
    的最小值为
     
    ．
    分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把
    1
    x
    +
    4
    y
    转化成2（
    1
    x
    +
    4
    y
    ）×（x+y），利用基本不等式求得
    1
    x
    +
    4
    y
    的最小值．
    解答：解：由已知得
    AB
    •
    AC
    =bccos∠BAC=2
    		3
    ?bc=4，
    故S△ABC=x+y+
    1
    2
    =
    1
    2
    bcsinA=1?x+y=
    1
    2
    ，
    而
    1
    x
    +
    4
    y
    =2（
    1
    x
    +
    4
    y
    ）×（x+y）
    =2（5+
    y
    x
    +
    4x
    y
    ）≥2（5+2
    y
    x
    ×
    4x
    y
    ）=18，
    故答案为：18．
    点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+
    b
    x
    的形式．
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    已知M是△ABC内的一点，且
    AB
    •
    AC
    =2
    		3
    ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
    1
    2
    ，x，y，则
    1
    x
    +
    4
    y
    的最小值是（　　）
    A、20B、18C、16D、9

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
    AB
    •
    AC
    =2
    		3
    ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
    （1）x+y+z=
     
    ；
    （2）定义f（x，y，z）=
    1
    x
    +
    4
    y
    +
    9
    z
    ，则f（x，y，z）的最小值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知M是△ABC内的一点，且
    AB
    •
    AC
    =2
    		3
    ，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
    1
    2
    ），则
    1
    2x
    +
    2
    y
    的最小值为
    9
    9
    ，此时f（M）=（
    (
    1
    6
    ，
    1
    3
    ，
    1
    2
    )
    (
    1
    6
    ，
    1
    3
    ，
    1
    2
    )
    ．

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    已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
    AB
    .
    AC
    =2
    		3
    ∠BAC=30°    ，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则
    1
    x+y
    +
    4
    z
    的最小值是
    9
    9
    ．

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