Question

已知定点A(-

3

，0)，B是圆C：(x-

3

)2+y2=16（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据|EA|=|EB|可判断出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|进而根据椭圆的定义可知点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，E的轨迹方程可得．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）将直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k与m的不等式关系；同时根据AB的垂直平分线与BC，可分别表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得k和m的关系式，进而可求得k的范围．设O到直线l的距离为d，根据三角形面积公式可得△OPQ的面积的表达式，根据k的范围确定△OPQ的面积的最大值．求出此时的k和m，所求的直线方程可得．

解答：解：（1）由题知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵|AC|=2

3

＜4∴点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴E的轨迹方程为

x2

4

+y2=1
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）
将直线y=kx+m与

x2

4

+y2=1
联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又x0=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y0=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

依题意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得k2＞

1

5

，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

设O到直线l的距离为d，则S△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 16(4k2+1-m2)

1+4k2

=

2 (4k2+1)(5k2-1)

9k2

=

2

9

20+ 1 k2 - 1 k4

当

1

k2

=

1

2

时，△OPQ的面积取最大值1，
此时k=

2

，m=

3 2

2

，∴直线方程为y=

2

x+

3 2

2

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的关系，考查了学生对圆锥曲线综合知识的把握．