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    （2008•海珠区一模）已知抛物线D的顶点是椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
    （1）求抛物线D的方程；
    （2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP=∠BQP；
    （3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
    分析：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．由a2-b2=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），由
    y=k(x-4)
    y2=4x
    ，得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，由此能够证明∠AQP=∠BQp．
    （3）设存在直线m+x=a满足题意，则圆心M(
    x1+4
    2
    ，
    y1
    2
    )    ，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|2=|MG|2-|ME|2，由此能够导出存在直线m：x=3满足题意．
    解答：（本小题满分14分）
    （1）解：由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
    由a2-b2=4-3=1，得c=1．
    ∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．
    ∴抛物线D的方程为y2=4x．…（4分）
    （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
    由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，
    当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
    由
    y=k(x-4)
    y2=4x
    ，得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，
    ∴
    x1+x2=
    4(2k2+1)
    k2
    x1x2=16
    ，
    ∵kAQ=
    y1
    x1+4
    =
    k(x1-4)
    x1+4
    ，
    kBQ=
    y2
    x2+4
    =
    k(x2-4)
    x2+4
    ，
    ∴kAQ+kBQ=
    k(2x1x2-32)
    (x1+4)(x2+4)
    =
    k(2•16-32)
    (x1+4)(x2+4)
    =0    ，
    ∴∠AQP=∠BQP．
    综上证知，∠AQP=∠BQP
    （3）解：设存在直线m+x=a满足题意，
    则圆心M(
    x1+4
    2
    ，
    y1
    2
    )    ，
    过M作直线x=a的垂线，垂足为E，
    ∴|EG|2=|MG|2-|ME|2，
    即|EG|2=|MA|2-|ME|2
    =
    (x1-4)2+y12
    4
    -(
    x1+4
    2
    -a)    2
    =
    1
    4
    y12+
    (x1-4)2-(x1+4)2
    4
    +a(x1+4)-a2
    =x1-4x1+a(x1+4)-a2
    =(a-3)x1+4a-a2，
    当a=3时，|EG|2=3，
    此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2
    		3
    ．…（13分）
    因此存在直线m：x=3满足题意…（14分）
    点评：本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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