【题目】已知函数,在一个周期内的图像如图所示.
(I)求函数的解析式;
(II)设,且方程有两个不同的实数根,求实数的取值范围以及这两个根的和.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.
【解析】
(I)根据三角函数的图像的最高点,求得的值,根据三角函数的周期,求得的值,根据函数图像上的特殊点,求得的值,由此求得函数的解析式.(II)画出函数的图像与函数的图像,根据图像求得的的取值范围.根据对称性求得两根的和.
(I)由题设图象,易得,,
所以,所以.
所以.
因为函数的图象经过点,
所以,即.
又因为,所以,
所以,所以.
故所求函数的解析式为.
(Ⅱ)由题意,知方程有两个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有两个不同的交点.
因为,
易画出函数的图象与函数的图象(如图所示).
依据图象可知:
当或时,
直线与曲线有两个不同的交点,
即方程有两个不同的实数根,
故所求实数的取值范围为.
①当时,与的图象有两交点且关于直线对称,设此时方程两个不同的实数根分别为,,
所以当,即
②当时,与的图象有两交点且关于直线对称,设此时方程两个不同的实数根分别为,,
所以,即
综上,当时,所求方程的两根之和为
当时,所求方程的两根之和为.
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;
(2)根据样本直方图估计所取样本的中位数及平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表).
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【题目】设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+ +7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为 .
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【题目】随着手机的普及,大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间,某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过小时的名大学生,将人使用手机的时间分成组:,,,,分别加以统计,得到下表,根据数据完成下列问题:
使用时间/时 | |||||
大学生/人 |
(1)完成频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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【题目】某班运动队由足球运动员18人,篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取个容量为的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当抽取样本的容量为时,若采用系统抽样法,则需要剔除一个个体,则样本容量 ( )
A. 6B. 7C. 12D. 18
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【题目】抛物线C1: 的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.
B.
C.
D.
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