Question

（2014•嘉定区一模）已知函数f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R．
（I ）求函数f（x）的周期和最小值；
（II）在锐角△ABC中，若f（A）=1，

.

AB

•

.

AC

=

2

，，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，后两项提取

3

，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小值正周期；由正弦函数的值域即可求出函数的最小值；
（II）由第一问确定的函数解析式及f（A）=1，得到关系式，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再利用平面向量的数量积运算法则化简而

AB

•

AC

=

2

，得到|

AB

|•|

AC

|的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+

3

（2cos²x-1）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-2≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴f（x）的最小值为-2；
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴2A+

π

3

=

5π

6

，即A=

π

4

，
而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=

2

，
∴|

AB

|•|

AC

|=2，
则S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|sinA=

2

2

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．