Question

已知数列{a_n}和数列{b_n}，数列{a_n}的前n项和记为s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1（n≥1），点（3^5n-4•a_n，b_n）在对数函数y=log₃x的图象上．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

3

bn•bn+1

，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），两式相减可得a_n+1与a_n的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a_n，进而可求b_n
（2）由cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，考虑利用裂项求和求出T_n，代入已知不等式即可求解满足条件的m

解答：解（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又a₂=2s₁+1=3，所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an=3n-1，
所以bn=log3(35n-4•an)=log3(35n-4•3n-1)=6n-5(n∈N*)…．（7分）
（2）∵cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…..（9分）
所以Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)…..（11分）
因此，使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)成立的m必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，满足要求的最小整数m为10…..（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项公式中的应用及等比数列的通项公式、裂项求和方法的应用，属于数列知识的简单综合