Question

【题目】已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若点P（x0，4）在抛物线C上，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）动直线l：x＝my+1（mR）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分别为直线AD，BD的斜率）若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）存在，（﹣1，0）.

【解析】

（1）先求出抛物线的准线方程，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程即可求得p＝2，从而可得结果；（2）假设存在，设A,B坐标，直线与抛物线联立得关于y的二次函数方程，两根之和，两根之积写出，利用斜率之和为0，即可求出t的值.

（1）由题意得：抛物线的准线方程：，

∵点P（x0，4）在抛物线C上，

，，

，

所以由题意：，解得：p＝2，

所以抛物线C的方程：y2＝4x；

（2）由题意得，假设存在D（t，0）使得，

设A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，

，，

由得

，，

时，使得，

即D点的坐标：（﹣1，0）．