Question

如果函数f(x)=

x2+a

bx-c

（b，c∈N*），满足f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）＜-

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在各项均不为零的数列{a_n}满足4Sn•f(

1

an

)=1，（S_n为该数列的前n项的和），如果存在，写出数列的一个通项公式a_n，并说明满足条件的数列{a_n}是否唯一确定；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）＜-

1

2

，及b，c∈N^*，求出解析式中的待定系数．
（2）先求出f（

1

an

）的解析式，得到s_n与通项a_n的关系，再根据a_n =s_n-s_n-1，
判断数列{a_n}是一个等差数列，写出通项公式，由此得出结论．

解答：解：（1）∵数f(x)=

x2+a

bx-c

（b，c∈N*），满足f（0）=0，f（2）=2，
∴-

a

c

=0，

4+a

2b-c

=2，∴a=0，2b-c=2，∵f（-2）＜-

1

2

，∴2b+c＜8，
∴（2b-c）+（2b+c）＜10，∴b=1，且c=0 （舍去），或  b=2，c=2，
综上，a=0，b=2，c=2，∴f（x）=

x2

2x-2

．
（2）∵f（

1

an

）=

( 1 an )2

2 1 an -2

=

1

2an-2an2

，∵4Sn•f(

1

an

)=1，∴4s_n=2a_n-2a_n²，
∴s_n=

an-an2

2

，令n=1，得  a₁=0（舍去） 或  a₁=-1，当n≥2时，
a_n =s_n-s_n-1  =

an-an2

2

-

an-1-an-12

2

，∴a_n-a_n-1=-1，
∴数列{a_n}是一个等差数列，通项公式是 a_n=-1+（n-1）d=-1+（n-1）（-1）=-n，
∴满足条件的数列{a_n}是唯一确定的．

点评：本题考查待定系数法求函数解析式，由递推关系求函数的同项公式．