Question

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   [-1，0）

Answer 1

B
分析：先设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）分别表示出，，，根据把，代入|PA|•|PB|=PO²整理可得x²-y²=可知点P的轨迹为双曲线，通过与圆的方程联立即可求得它们的交点，得x²=，但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜，又根据x²-y²=可知x²＞=，进而可得的x²范围，设z=•=x²-1+y²，把x²-y²=代入z，进而可得答案．
解答：设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
则=（-1-x，-y）
=（1-x，-y）
=（-x，-y）
设z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=（2）
这是P点满足的条件 （其图形为一双曲线）
求它与圆的交点：
即，解方程组：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=（4）
得x²=（5）
（但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜
又由（2）知x²＞=，
即≤x²＜（6）
由（2）还得：y²=x²-
代入（1），得
z=2x²-（7）
由（（6），（7）知，z的取值范围为
为：[-，0）
故选B
点评：本题主要考查了等比数列和平面向量的性质．要特别把握好平面向量的运算法则．