Question

一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得 a₁a_n =3，再由所有项的积为a₁•a₁q•a₁q2 …a₁q^n-1=243=3⁵  ①，倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵  ②，通过①②，解得 n的值．

解答： 解：设等比数列为{a_n}，公比为q，由题意可得 a₁a₂a₃=3，且 a_n-2a_n-1a_n=9，两式相乘可得 a₁a_n =3．
再由所有项的积为a₁•a₁q•a₁q² …a₁q^n-1=729=3⁶ ①，
倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁶ ②，
把①②对应项相乘可得：

(a

2 1

 •qn-1)n=(a1•an)n=3ⁿ=3⁶•3⁶ =3¹²，解得 n=12，
故答案为：12．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．