Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD1上的动点．当△PAC在平面DC1 ， BC1 ， AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ．
（i）当BP= 时，S1S2（填“＞”或“=”或“＜”）；
（ii） S1+S2+S3的最大值为 ．

Answer 1

【答案】=；
【解析】解：（i）设P在平面DC1和平面BC1上的投影分别为P1，P2，

则P1、P2到平面ABCD的距离相等，即h1=h2，

∵S1= h1，S2= ，

∴S1=S2．

（ii）设P在底面的投影为M，则M在BD上，

设 =λ（0＜λ≤1且 ），

则 = ，

∴PM=λ，BM= λ，

∴S1=S2= = ，S3= | ﹣ |=| ﹣λ|，

∴S1+S2+S3=λ+| ﹣λ|，

∴当λ=1时，S1+S2+S3取得最大值 ．

所以答案是：（i）=，（ii） ．