Question

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且，为PC的中点.

（Ⅰ）求证：平面AEC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）利用直线的向量与平面的法向量垂直证明线面平行，（Ⅱ）

试题分析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，
，

（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为，∵，∴
由得，令，得,又
∴，，平面AEC∴平面AEC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，
又为平面ACD的法向量，而，
故二面角的余弦值为
点评：立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题．对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化．在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件．