Question

2．已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
（1）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过cosθ=0，化简函数的解析式，利用导函数的单调性判断函数f（x）是否有极值；
（2）通过f′（x）=0，求出极值点x₁=0，x₂=$\frac{cosθ}{2}$．判断函数的单调性，然后求解使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围．

解答 解：（1）当cosθ=0时，f（x）=4x³，f′（x）=12x²≥0，
则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（2）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，可得x₁=0，x₂=$\frac{cosθ}{2}$．
当cosθ＞0时，容易判断f（x）在（-∞，0]，$[\frac{cosθ}{2}，+∞）$上是增函数，
在$[0，\frac{cosθ}{2}]$上是减函数，
故f（x）在x=$\frac{cosθ}{2}$处取得极小值：f（$\frac{cosθ}{2}$）=$-\frac{1}{4}$${cos}^{3}θ+\frac{3}{16}cosθ$．
由$f（\frac{cosθ}{2}）＞0$，即$-\frac{1}{4}{cos}^{3}θ+\frac{3}{16}cosθ$＞0，可得$0＜cosθ＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于0≤θ≤2π，
$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$或故$\frac{3π}{2}＜θ＜\frac{11π}{6}$．
同理，可知当cosθ＜0时，f（x）在x=0处取极小值f（0）=$\frac{3}{16}$cosθ＞0，
即cosθ＞0，与cosθ＜0矛盾，
所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零．
综上，要使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围为$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）∪（\frac{3π}{2}，\frac{11π}{6}）$．

点评 本题考查函数的对数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．