Question

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．

Answer 1

分析：法一（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
法二，根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解（1）利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断线面关系，
（2）通过求两个平面法向量的夹角求二面角．

解答：解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．∴AB∥平面DEF．
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

∴tan∠MNE=

3

2

，cos∠MNE=y=-

3

x+2

3

．

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
证明如下：在线段BC上取点P．使BP=

1

3

BC，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD∵DQ=

1

3

DC=

2 3

3

在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2

3

，0，)，E(0，

3

，1)，F(1，

3

，0)
平面CDF的法向量为

DA

=(0，0，2)设平面EDF的法向量为

n

=(x，y，z)
则

DF • n =0 DE • n =0

即

x+ 3 y=0 3 y+z=0

取

n

=(3，-

3

，3)cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA || n |

=

21

7

所以二面角E-DF-C的余弦值为

21

7

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为y=-

3

x+2

3

设P(x，2

3

-

3

x，0)，则

AP

=(x，2

3

-

3

x，-2)
∴AP⊥DE?

AP

•

DE

=0?x=

4

3

?

BP

=

1

3

BC

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
另解：设P(x，y，0)，则

AP

•

DE

=

3

y-2=0∴y=

2 3

3

又

BP

=(x-2，y，0)，

PC

=(-x，2

3

-y，0)
∵

BP

∥

PC

∴(x-2)(2

3

-y)=-xy∴

3

x+y=2

3

把y=

2 3

3

代入上式得x=

4

3

，
∴

BP

=

1

3

BC

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．